Question

（1）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求

1

x

+

1

y

的最小值及對應(yīng)的x、y值．
（2）已知x＞-2，求函數(shù)y=x+

16

x+2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）依題意，

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y），展開后利用基本不等式即可；
（2）將y=x+

16

x+2

轉(zhuǎn)化為y=（x+2）+

16

x+2

-2，再利用基本不等式即可．

解答：解：（1）、因為正數(shù)x、y滿足2x+y=1，
所以

1

x

+

1

y

=（

1

x

+

1

y

）（2x+y）=

2x+y

x

+

2x+y

y

=3+

y

x

+

2x

y

≥3+2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

2x

y

時取等號．
由

2x+y=1 y x = 2x y x＞0，y＞0

 得

x= 2- 2 2 y= 2 -1

，
所以當(dāng)x=

2- 2

2

，y=

2

-1時

1

x

+

1

y

有最小值為3+2

2

．…（7分）
（2）∵x＞-2，
∴x+2＞0，
∴y=x+

16

x+2

=（x+2）+

16

x+2

-2≥2

(x+2)• 16 x+2

-2=6，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時取等號．                         …（14分）

點評：本題考查基本不等式，湊“積為定值”是關(guān)鍵，屬于中檔題．