Question

（2013•荊門模擬）已知函數f（x）滿足對于?x∈R，均有f(x)+2f(-x)=ax+2(

1

a

)x+xlna(a＞1)成立．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的最小值；
（3）證明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n

n

)n＜

e

e-1

(n∈N+)．

Answer 1

分析：（1）對f(x)+2f(-x)=ax+2(

1

a

)x+xlna(a＞1)分別取x與-x代入即可得出．
（2）利用導數研究函數的單調性即可得出；
（3）由（2）得 a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，則e^x≥x+1．在e^x≥x+1中令x=-

k

n

（k=1，2，…n-1），可得1-

k

n

≤e-

k

n

，得到(1-

k

n

)n≤e-k．對k分別取k=1，2，3，…，n，然后累加求和即可證明．

解答：解：（1）依題意得

f(x)+2f(-x)=ax+2( 1 a )x+xlna f(-x)+2f(x)=( 1 a )x+2ax-xlna

解之得f（x）=a^x-xlna（a＞1）．
（2）f'（x）=a^xlna-lna=（a^x-1）lna．
當x＞0時，f'（x）＞0；當x＜0時，f'（x）＜0．
∴f（x））在（-∞，0）上遞減，在（0，+∞）上遞增．
∴f（x）_min=f （0）=1．
（3）由（2）得 a^x-xlna≥1恒成立，令a=e，則e^x≥x+1．
在e^x≥x+1中令x=-

k

n

（k=1，2，…n-1），
∴1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤e-k．
∴（1-

1

n

）ⁿ≤e^-1，（1-

2

n

）ⁿ≤e^-2，…，（1-

n-1

n

）ⁿ≤e^-（n-1），（

n

n

）ⁿ=1．
∴（

n

n

）ⁿ+（

n-1

n

）ⁿ+（

n-2

n

）ⁿ+…+（

1

n

）ⁿ≤1+e^-1+e^-2+…+e^-（n-1）
=

1-( 1 e )n

1- 1 e

=

e[1-( 1 e )n]

e-1

＜

e

e-1

．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性并利用結論證明新的結論、累加求和、求函數解析式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．