Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+x-1，其中n∈N^*，且n≥2，給出下列三個結(jié)論：
①函數(shù)f₃（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)不存在零點(diǎn)；
②函數(shù)f₄（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
③設(shè)x_n（n＞4）為函數(shù)f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)的零點(diǎn)，則x_n＜x_n+1．
其中所有正確結(jié)論的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，進(jìn)行驗(yàn)證；
②確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，進(jìn)行驗(yàn)證；
③函數(shù)在（

1

2

，1）上是單調(diào)增函數(shù)，f_n+1（x）＜f_n（x），即可得到結(jié)論．

解答：解：①f₃（x）=x³+x-1，∵f₃′（x）=3x²+1＞0，∴函數(shù)在R上是單調(diào)增函數(shù)，∵f₃（

1

2

）=-

3

8

＜0，f₃（1）=1＞0，∴函數(shù)f₃（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即①不正確；
②f₄（x）=x⁴+x-1，∵f₄′（x）=4x³+1，∵x∈（

1

2

，1），∴f₄′（x）＞0，∴函數(shù)在（

1

2

，1）上是單調(diào)增函數(shù)，∵f₄（

1

2

）=-

7

16

＜0，f₄（1）=1＞0，∴函數(shù)f₄（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)存在零點(diǎn)，即②正確；
③f_n（x）=xⁿ+x-1，∵f_n′（x）=nx^n-1+1，∵x∈（

1

2

，1），∴f_n′（x）＞0，∴函數(shù)在（

1

2

，1）上是單調(diào)增函數(shù)，∵f_n+1（x）-f_n（x）=xⁿ（x-1）＜0，∴函數(shù)在（

1

2

，1）上f_n+1（x）＜f_n（x），∵x_n（n＞4）為函數(shù)f_n（x）在區(qū)間（

1

2

，1）內(nèi)的零點(diǎn)，∴x_n＜x_n+1，即③正確
故答案為：②③

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．