Question

定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b][a，b]的長(zhǎng)度均為d=b-a，多個(gè)區(qū)間并集的長(zhǎng)度為各區(qū)間長(zhǎng)度之和，例如（1，2）∪（3，5）的長(zhǎng)度為d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，記＜x＞=x-[x]，其中x∈R．設(shè)f（x）=[x]•＜x＞，g（x）=2x-[x]-2，若d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的長(zhǎng)度，則當(dāng)0≤x≤2012時(shí)，有（ ）
A．d₁=2，d₂=0，d₃=2010
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2010
C．d₁=2，d₂=1，d₃=2009
D．d₁=2，d₂=2，d₃=2008

Answer 1

【答案】分析：先化簡(jiǎn)f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，再化簡(jiǎn)f（x）＞g（x），再分類討論：①當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，②當(dāng)x∈[1，2）時(shí)③當(dāng)x∈[2，2012]時(shí)，從而
得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2012時(shí)的解集的長(zhǎng)度；對(duì)于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）進(jìn)行類似的討論即可．
解答：解：∵f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=2x-[x]-2，
f（x）＞g（x），等價(jià)于[x]x-[x]²＞2x-[x]-2，即（[x]-2）x＞[x]²-[x]-2，即 （[x]-2）x＞（[x]-2）（[x]+1）．
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＜1，∴x∈[0，1）；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為x＜2，∴x∈[1，2）；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，上式可化為 0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[3，2012]時(shí)，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2012時(shí)的解集為[0，2），故d₁=2．
f（x）=g（x）等價(jià)于[x]x-[x]² =2x-[x]-2，即（[x]-2）x=[x]²-[x]-2，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x=1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為x=2，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，上式可化為0=0，∴x∈[2，3）；
當(dāng)x∈[3，2012]時(shí)，[x]-2＞0，上式可化為x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2012時(shí)的解集為[2，3），故d₂=1．
f（x）＜g（x）等價(jià)于[x]x-[x]² ＜2x-[x]-2，即（[x]-2）x＜[x]²-[x]-2，
當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，[x]=1，上式可化為x＞2，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，3）時(shí)，[x]=2，上式可化為 0＜0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[3，2012]時(shí)，[x]-2＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[3，2012]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2012時(shí)的解集為[3，2012]，故d₃=2009．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，同時(shí)考查了創(chuàng)新能力，以及分類討論的思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．