Question

設(shè)f（a）=

∫

1 0

|x²-a²|dx．當a≥0時，則f（a）的最小值為（　�。�

• A、

  2

  3

• B、

  1

  4

• C、-

  1

  3

• D、無最小值

Answer 1

考點：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)a的范圍，可以將被積函數(shù)的絕對值去掉，然后找出被積函數(shù)的原函數(shù)，就函數(shù)f（a）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）0≤a≤1時，f（a）=

∫

1 0

|x²-a²|dx
=

∫

a 0

（a²-x²）dx+

∫

1 a

（x²-a²）dx
=（a²x-

1

3

x³）|

a 0

+（

x3

3

-a²x）|

1 a

=a³-

1

3

a³+

1

3

-a²-

a3

3

+a³
=

4

3

a³-a²+

1

3

．
當a＞1時，f（a）=

∫

1 0

（a²-x²）dx=（a²x-

1

3

x³）|

1 0

=a²-

1

3

．
∴f（a）=

4 3 a3-a2+ 1 3 ，0≤a≤1 a2- 1 3 ，  a＞1

．
（2）當a＞1時，由于a²-

1

3

在[1，+∞）上是增函數(shù)，
故f（a）在[1，+∞）上的最小值是f（1）=1-

1

3

=

2

3

．
當a∈[0，1]時，f′（a）=4a²-2a=2a（2a-1），
由f′（a）＞0知：a＞

1

2

或a＜0，
故在[0，

1

2

]上遞減，在[

1

2

，1]上遞增．
因此在[0，1]上，f（a）的最小值為f（

1

2

）=

1

4

．
綜上可知，f（x）在[0，+∞）上的最小值為

1

4

．
故選：B．

點評：本題考查了定積分的基本運算，分類討論思想，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法，是高考的�？贾�識點，考查學(xué)生的計算能力．