Question

如圖，點(diǎn)A、B分別是橢圓＝1長軸的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．

(1)求P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得點(diǎn)A(－6，0)，F(xiàn)(4，0)，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．由已知得消去y得2x2＋9x－18＝0． 　　∴x＝或x＝－6．由y＞0， 　　∴x＝，y＝． 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)是()． 　　(2)直線AP的方程是x－＋6＝0． 　　設(shè)M(m，0)(－6≤m≤6)， 　　則M到直線AP的距離是． 　　又|MB|＝|6－m|，∴＝|m－6|． 　　∵－6≤m≤6，∴m＝2． 　　橢圓上的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)M的距離d為 　　d＝．由于－6≤x≤6， 　　∴當(dāng)x＝時(shí)，d取最小值為．

提示：

本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及與圓錐曲線有關(guān)的二次函數(shù)的最值等綜合問題．利用垂直關(guān)系中“斜率之積等于－1”或“兩向量數(shù)量積等于零”轉(zhuǎn)化為P點(diǎn)坐標(biāo)的方程，再與橢圓方程聯(lián)立方程組求解P點(diǎn)坐稱．求距離d的最小值問題需構(gòu)造出關(guān)于橢圓上動(dòng)點(diǎn)(x，y)的橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用函數(shù)求最值時(shí)，要注意自變量的取值范圍．