Question

已知圓C過點(diǎn)O（0，0），A（1，3），B（4，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）若直線x+2y+m=0與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且∠MON=60°，求m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓C的方程為 x²+y²+dx+ey+f=0，則由題意可得

f=0 1+9+d+3e+f=0 16+4d+f=0

，解得a、b、c的值，
即可求得圓的方程．
（2）由題意可得，點(diǎn)C在直線MN的下方，在等腰三角形MCN中，可得點(diǎn)C到直線MN的距離等于

5

2

，
即

5

2

=

|2+2+m|

5

，由此解得m的值．

解答：解：（1）設(shè)圓C的方程為 x²+y²+dx+ey+f=0，則由題意可得

f=0 1+9+d+3e+f=0 16+4d+f=0

，解得 

d=-4 e=-2 f=0

，
∴圓C的方程為 為 x²+y²-4x-2y=0．
（2）由于直線l：x+2y+m=0的斜率等于-

1

2

，而OC的斜率為

1

2

，故直線l和OC垂直．
∵∠MON=60°，點(diǎn)O在圓C上，∴∠MCN=120°，且點(diǎn)C在直線MN的下方．
在等腰三角形MCN中，可得點(diǎn)C到直線MN的距離等于rcos60°=

5

2

，
即

5

2

=

|2+2+m|

5

，解得 m=-

3

2

，m=-

13

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)可得，m=-

3

2

時(shí)，點(diǎn)C在直線l的上方，不滿足題意，舍去．
故只有 m=-

13

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查利用待定系數(shù)法求圓的方程，直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題．