【題目】已知是圓錐的高，是圓錐底面的直徑，是底面圓周上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示.

（1）求證：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)，易證，，從而可證明平面，進(jìn)而可證明平面平面；

（2）先證明，，兩兩垂直，進(jìn)而建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的方法求得二面角的余弦值即可.

（1）連結(jié)，則，

又因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>是圓錐的高，所以平面，

平面，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）由已知可得，

所以為正三角形，.

又因?yàn)?/span>，所以，所以.

于是分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

則，，.

設(shè)平面的法向量為，

由得：.

令，得，，

即.

設(shè)平面的法向量為，

由得：，

令，得，，即.

設(shè)二面角的大小為，由圖可知，，則.

故所求二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列， 公比為 為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

（1）若求;

（2）若調(diào)換的順序后能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求的所有可能值；

（3）是否存在正常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，不等式總成立？若存在，求出的范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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【題目】已知集合，函數(shù)定義于并取值于．（用數(shù)字作答）

（1）若對(duì)于任意的成立，則這樣的函數(shù)有_______個(gè)；

（2）若至少存在一個(gè)，使，則這樣的函數(shù)有____個(gè)．

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【題目】某工廠(chǎng)有兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，第一車(chē)間有工人200人，第二車(chē)間有工人400人，為比較兩個(gè)車(chē)間工人的生產(chǎn)效率，采用分層抽樣的方法抽取工人，并對(duì)他們中每位工人生產(chǎn)完成一件產(chǎn)品的時(shí)間（單位：min）分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到下列統(tǒng)計(jì)圖表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分組）．

分組

頻數(shù)

[55，65）

2

[65，75）

4

[75，85）

10

[85，95]

4

合計(jì)

20

第一車(chē)間樣本頻數(shù)分布表

（Ⅰ）分別估計(jì)兩個(gè)車(chē)間工人中，生產(chǎn)一件產(chǎn)品時(shí)間小于75min的人數(shù)；

（Ⅱ）分別估計(jì)兩車(chē)間工人生產(chǎn)時(shí)間的平均值，并推測(cè)哪個(gè)車(chē)間工人的生產(chǎn)效率更高？（同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表）

（Ⅲ）從第一車(chē)間被統(tǒng)計(jì)的生產(chǎn)時(shí)間小于75min的工人中，隨機(jī)抽取3人，記抽取的生產(chǎn)時(shí)間小于65min的工人人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某企業(yè)為了檢查生產(chǎn)產(chǎn)品的甲、乙兩條流水線(xiàn)的生產(chǎn)情況，隨機(jī)地從這兩條流水線(xiàn)上生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取50件產(chǎn)品作為樣本，測(cè)出它們的這一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.若該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品.下表是甲流水線(xiàn)樣本的頻數(shù)分布表，下圖是乙流水線(xiàn)樣本的頻率分布直方圖.

甲流水線(xiàn)樣本的頻數(shù)分布表

質(zhì)量指標(biāo)值

頻數(shù)

9

10

17

8

6

乙流水線(xiàn)樣本的頻率分布直方圖

（1）根據(jù)圖形，估計(jì)乙流水線(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)；

（2）設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)一件合格品獲利100元，生產(chǎn)一件不合格品虧損50元，若某個(gè)月內(nèi)甲、乙兩條流水線(xiàn)均生產(chǎn)了1000件產(chǎn)品，若將頻率視為概率，則該企業(yè)本月的利潤(rùn)約為多少元？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，給出下列命題：

①當(dāng)時(shí)， ②函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)

③的解集為 ④，都有

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 4B. 3C. 2D. 1

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【題目】我們要計(jì)算由拋物線(xiàn)，x軸以及直線(xiàn)所圍成的區(qū)域的面積S，可用x軸上的分點(diǎn)、、、…、、1將區(qū)間分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上做一個(gè)小矩形，使矩形的左端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，這些矩形的高分別為、、、…、，矩形的底邊長(zhǎng)都是，設(shè)所有這些矩形面積的總和為，為求S，只須令分割的份數(shù)n無(wú)限增大，就無(wú)限趨近于S，即.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出S；

（2）利用相同的思想方法，探求由函數(shù)的圖象，x軸以及直線(xiàn)和所圍成的區(qū)域的面積T.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

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（1）求甲同學(xué)購(gòu)買(mǎi)3種書(shū)籍的概率；

（2）設(shè)甲、乙同學(xué)購(gòu)買(mǎi)2種書(shū)籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

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