Question

如圖，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁ 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA₁ ＝，D 是A₁B₁ 中點(diǎn)．

（1）       求證C₁D ⊥平面A₁B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB₁ 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB₁ ⊥平面C₁DF ？并證明你的結(jié)論。

Answer 1

證明：（1）如圖，∵  ABC—A₁B₁C₁ 是直三棱柱，

∴  A₁C₁ ＝B₁C₁ ＝1，且∠A₁C₁B₁ ＝90°。

又 D 是A₁B₁ 的中點(diǎn)，∴  C₁D ⊥A₁B₁ 。

∵  AA₁ ⊥平面A₁B₁C₁ ，C₁D 平面A₁B₁C₁ ，

∴  AA₁ ⊥C₁D ，∴  C₁D ⊥平面AA₁B₁B。

（2）解：作DE ⊥AB₁ 交AB₁ 于E ，延長DE 交BB₁ 于F ，連結(jié)C₁F ，則AB₁ ⊥平面C₁DF ，點(diǎn)F 即為所求。

∵  C₁D ⊥平面AA₁BB ，AB₁ 平面AA₁B₁B ，

∴  C₁D ⊥AB₁ ．又AB₁ ⊥DF ，DF C₁D ＝D ，

∴  AB₁ ⊥平面C₁DF 。