Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點(diǎn)分別是C₁的左、右頂點(diǎn)，而C₂的左、右頂點(diǎn)分別是C₁的左、右焦點(diǎn)．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點(diǎn)A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的范圍．
（3）試根據(jù)軌跡C₂和直線l，設(shè)計(jì)一個與x軸上某點(diǎn)有關(guān)的三角形形狀問題，并予以解答（本題將根據(jù)所設(shè)計(jì)的問題思維層次評分）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，由此能求出故C₂的方程．
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0．由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點(diǎn)得：

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

，由此能求出k的取值范圍．
（3）若x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
當(dāng)k=0時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），即m=0；當(dāng)k≠0時，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），線段AB的中垂線方程為y-

2

1-3k2

=-

1

k

(x-

3 2 k

1-3k2

)，令y=0，得m=

4 2 k

1-3k2

=

4 2

1 k -3k

，由此能求出m的范圍．

解答：解：（1）設(shè)雙曲線C₂的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，
則a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1，故C₂的方程為

x2

3

-y2=1
（2）將y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0
由直線l與雙曲線C₂交于不同的兩點(diǎn)得：

1-3k2≠0 △=(6 2 k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0

∴k2≠

1

3

且k²＜1…①A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

-9

1-3k2

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+

2

)(kx2+

2

)=(k2+1)x1x2+

2

k(x1+x2)+2=

3k2+7

3k2-1

又∵

OA

•

OB

＞2，得x₁x₂+y₁y₂＞2，∴

3k2+7

3k2-1

＞2
即

-3k2+9

3k2-1

＞0，解得：

1

3

＜k2＜3，…②，故k的取值范圍為(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．
（3）若x軸上存在點(diǎn)P（m，0），使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求m的取值范圍．
解：顯然，當(dāng)k=0時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），即m=0；
當(dāng)k≠0時，設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），
由（2）知x0=

x1+x2

2

=

3 2 k

1-3k2

，y0=

3 2 k2

1-3k2

+

2

=

2

1-3k2

于是，線段AB的中垂線方程為y-

2

1-3k2

=-

1

k

(x-

3 2 k

1-3k2

)，令y=0，得m=

4 2 k

1-3k2

=

4 2

1 k -3k

，由①知，k∈(-1，-

3

3

)∪(-

3

3

，0)∪(0，

3

3

)∪(

3

3

，1)
∴

1

k

-3k∈R，∴m∈R，且m≠0．
綜上所述，m∈R．

點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．