已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，且恰好與直線相切.

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)A為圓上一動點(diǎn)，AN軸于N，若動點(diǎn)Q滿足（其中m為非零常數(shù)），試求動點(diǎn)的軌跡方程.

(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)時(shí)，得到動點(diǎn)Q的軌跡曲線C，與垂直的直線與曲線C交于 B、D兩點(diǎn)，求面積的最大值.

 

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)求圓的方程，已經(jīng)已知圓心坐標(biāo)，只要再求得圓的半徑即可，而圓心的半徑等于圓心到切線的距離；（2）本題動點(diǎn)可以看作是由動點(diǎn)的運(yùn)動成生成的，因此可以用動點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求點(diǎn)的軌跡方程，具體方法就是設(shè)，，利用條件，求出與的關(guān)系，并且用來表示，然后把代入（1）中圓的方程，就能求得動點(diǎn)為的軌跡方程；（3）時(shí)，曲線的方程為，直線與垂直，其方程可設(shè)為，這條直線與曲線相交，由此可求得的取值范圍，而的面積應(yīng)該表示為的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識或不等式的知識求得最值.

試題解析：(1)設(shè)圓的半徑為,圓心到直線距離為，則

所以，圓的方程為

（2）設(shè)動點(diǎn),,軸于,

由題意,，所以 即: ，

將代入,得動點(diǎn)的軌跡方程.

（3）時(shí),曲線方程為，設(shè)直線的方程為

設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)

聯(lián)立方程得

因?yàn)?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014050304091619412987/SYS201405030410215691699357_DA.files/image046.png">，解得，且

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離 

 .（當(dāng)且僅當(dāng)即

時(shí)取到最大值）面積的最大值為.

考點(diǎn)：（1）圓的方程；（2）動點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程；（3）直線與橢圓相交，面積的最值問題.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn)，
MF
=λ
FB
（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且|
B1F
|，|
OF
|，2|
A1F
|成等差數(shù)列求λ的值
（3）設(shè)已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）2=1的圓心為點(diǎn)N．已知點(diǎn)P是拋物線C1′上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點(diǎn)，若過N，P兩點(diǎn)的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長為2，且兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)恰為一個(gè)正方形的頂點(diǎn)．過右焦點(diǎn)F與x軸不垂直的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）在線段OF上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得以MP，MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸長為2
2
，離心率e=
2
2
，過右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△POQ的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年四川省成都七中高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，傾斜角為銳角的直線l過F點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線交于M點(diǎn)，=λ（λ＞0）
（1）若λ=1，求直線l斜率
（2）若點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A1，B1且||，||，2||成等差數(shù)列求λ的值
（3）設(shè)已知拋物線為C1：y2=x，將其繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°變成C1′．圓C2：x2+（y-4）=1的圓心為點(diǎn)N．已知點(diǎn)P是拋物線C1′上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)P作圓C2的兩條切線，交拋物線C′1于T，S，兩點(diǎn)，若過N，P兩點(diǎn)的直線l垂直于TS，求直線l的方程．

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