Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行．
（1）求f（x）的解析式（含字母c）；
（2）求函數(shù)的極大值與極小值的差．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用

分析：（1）根據(jù)極值點是導函數(shù)對應方程的根，可知x=2為y′=0的根，結合導數(shù)的幾何意義有k=y′|_x=1，列出關于a，b的方程組，求解可得到y(tǒng)的解析式； 
（2）根據(jù)（1）可得y′=0的根，再結合單調性，即可得到函數(shù)的極大值與極小值，從而求得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當x=2時，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，．
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函數(shù)在（-∞，0）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴函數(shù)在x=0時取得極大值c，在x=2時取得極小值c-4，
∴函數(shù)的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4．

點評：本題主要考查函數(shù)在某點取得極值的條件和導數(shù)的幾何意義，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導函數(shù)，令導函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調性，根據(jù)極值的定義，確定極值點和極值．