Question

14．如圖所示，在半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有水平向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓形區(qū)域右側(cè)距離圓形區(qū)域右邊緣為d處有一豎直感光板．圓形區(qū)域上側(cè)有兩塊平行金屬極板，金屬極板上側(cè)有一粒子源，粒子源中可以發(fā)射速度很小的質(zhì)量為m的2價(jià)陽(yáng)離子（帶電量為+2e），離子重力不計(jì)．
（1）若離子從圓形區(qū)域頂點(diǎn)P以速率v₀平行于紙面進(jìn)入磁場(chǎng)，求在兩塊平行金屬極板上所加的電壓U；
（2）若離子從圓形區(qū)域頂點(diǎn)P以速率v₀對(duì)準(zhǔn)圓心射入，若它剛好從圓形區(qū)域最右側(cè)射出，垂直打在豎直感光板上，求圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）若圓形區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，離子以某一速度對(duì)準(zhǔn)圓心射入，若它從圓形區(qū)域右側(cè)射出，以與豎直感光板成60°的角打在豎直感光板上，求它打到感光板上時(shí)的速度；
（4）若在圓形區(qū)域右側(cè)加上豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，粒子從圓弧頂點(diǎn)P以速率v₀對(duì)準(zhǔn)圓心射入，求離子打在MN上的位置距離圓形區(qū)域圓心O的豎直高度h．

Answer 1

分析 （1）離子在金屬極板間做勻加速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求解電壓U．
（2）離子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若離子從圓形區(qū)域頂點(diǎn)P對(duì)準(zhǔn)圓心射入，剛好從圓形區(qū)域最右側(cè)射出時(shí)，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡為$\frac{1}{4}$圓弧，畫出軌跡，求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（3）結(jié)合題意畫出離子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，即可求得離子的速度．
（4）離子從Q點(diǎn)射出后做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解，由牛頓第二定律和位移公式結(jié)合解答．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理可知，2eU=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 U=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．
（2）設(shè)離子進(jìn)入磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，根據(jù)題述，離子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡為四分之一圓周，且r=R，如圖甲所示，由牛頓第二定律得：
  2ev₀B=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{r}$
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$                                           

（3）根據(jù)題述可知離子以與豎直感光板成60°的角打在豎直感光板上，離子軌跡如圖乙所示．由圖中幾何關(guān)系可知，tan60°=$\frac{r}{R}$        

解得離子軌跡半徑r=$\sqrt{3}$R                   
由2evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．              
（4）離子從Q點(diǎn)射出后做類平拋運(yùn)動(dòng)，如圖丙所示，且
d=v₀t，h=$\frac{1}{2}$at²（2分）
由牛頓第二定律有 a=$\frac{2eE}{m}$                                               
聯(lián)立解得：h=$\frac{eExhx3hvj^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．                                    

答：
（1）在兩塊平行金屬極板上所加的電壓U為$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{4e}$．　
（2）圓形區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{m{v}_{0}}{2eR}$．
（3）它打到感光板上時(shí)的速度為$\frac{2\sqrt{3}eBR}{m}$．　
（4）離子打在MN上的位置距離圓形區(qū)域圓心O的豎直高度h為$\frac{eEzlb7z7v^{2}}{m{v}_{0}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式．本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．