Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2AA₁=2，sin，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求證：平面AC₁D⊥平面B₁BCC₁；
（3）求三棱錐B-AC₁D的體積．

Answer 1

解：（1）證明：連接A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連接OD，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁是矩形，∴A₁O=OC．
又∵D是BC的中點(diǎn)，∴A₁B∥OD．
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D．
∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)．
∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B⊥底面ABC，∴B₁B⊥AD．
又B₁B∩BC=B，∴AD⊥側(cè)面BCC₁B₁．
∵AD?平面AC₁D，
∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．
（3）在Rt△ABD中，∵，∴∠ABD=60°．
∵AB=2，∴，BD=1．
∴====．
分析：（1）利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用直三棱柱的性質(zhì)、等腰三角形底邊的“三線合一”的性質(zhì)、面面垂直的判定定理即可證明；
（3）利用等積變形和三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直三棱柱的性質(zhì)、等腰三角形底邊的“三線合一”的性質(zhì)、線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、等積變形和三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．