Question

已知：函數f(x)=

2

(sinx-cosx)．
（1）求函數f（x）的最小正周期和值域；
（2）若函數f（x）的圖象過點(α，

6

5

)，

π

4

＜α＜

3π

4

．求f(

π

4

+α)的值．

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式acosx+bsinx=

a2+b2

sin(x+θ)將函數f(x)=

2

(sinx-cosx)轉化為f(x)=2sin(x-

π

4

)，函數f（x）的最小正周期和值域可求；
（2）解法一：將（α，

6

5

）代入f(x)=2sin(x-

π

4

)，可得sin(α-

π

4

)=

3

5

，根據

π

4

＜α＜

3π

4

，可求cos(α-

π

4

)，
             f(

π

4

+α)=2sinα=2sin[(α-

π

4

)+

π

4

]，利用兩角和的正弦公式可使問題得到解決；
     解法二：將sin(α-

π

4

)=

3

5

展開得sinα-cosα=

3 2

5

，根據題中條件可得0＜α-

π

4

＜

π

2

，
            從而得cos(α-

π

4

)=

4

5

，展開得sinα+cosα=

4 2

5

，解關于sinα，cosα的方程組可求得sinα，
            又f(

π

4

+α)=2sinα，問題即可得到解決；
     解法三：由sin(α-

π

4

)=

3

5

可求sin2α=

7

25

，根據α的范圍可求

π

2

＜2α＜

3π

2

，
             利用sin²2α+cos²2=1求得 cos2α=-

24

25

，
            由升冪公式可得sin2α=

1-cos2α

2

；結合

π

4

＜α＜

3π

4

可求sinα，又f(

π

4

+α)=2sinα，問題得到解決．

解答：解：（1）f(x)=

2

(sinx-cosx)=2(sinx•

2

2

-cosx•

2

2

)=2sin(x-

π

4

)---（3分）
∴函數的最小正周期為2π，值域為{y|-2≤y≤2}．
（2）解法1：依題意得：2sin(α-

π

4

)=

6

5

，sin(α-

π

4

)=

3

5

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

f(

π

4

+α)=2sin[(α-

π

4

)+

π

4

]
∵sin[(α-

π

4

)+

π

4

]=sin(α-

π

4

)cos

π

4

+cos(α-

π

4

)sin

π

4

=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

解法2：依題意得：sin(α-

π

4

)=

3

5

，得sinα-cosα=

3 2

5

----①
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴0＜α-

π

4

＜

π

2

，∴cos(α-

π

4

)=

1-sin2(α- π 4 )

=

1-( 3 5 )2

=

4

5

由cos(α-

π

4

)=

4

5

得sinα+cosα=

4 2

5

-----------②
①+②得2sinα=

7 2

5

，∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

解法3：由sin(α-

π

4

)=

3

5

得sinα-cosα=

3 2

5

，
兩邊平方得，1-sin2α=

18

25

，sin2α=

7

25

，
∵

π

4

＜α＜

3π

4

．∴

π

2

＜2α＜

3π

2

由sin2α=

7

25

＞0知

π

2

＜2α＜π
∴cos2α=-

1-sin22α

=-

24

25

，由cos2α=1-2sin²α，得sin2α=

1-cos2α

2

=

49

50

∴sinα=

7 2

10

∴f(

π

4

+α)=

7 2

5

．

點評：本題考查正弦函數性質，解決的方法靈活，解法一側重拼湊角的方法，考查兩角和的正弦公式的應用，解法二側重方程組思想方法，解法三側重于倍角公式，升冪公式的考查，屬于中檔題．