Question

橢圓M：長軸上的兩個頂點A、B，點P為橢圓M上除A、B外的一個動點，若•=0且•=0，則動點Q在下列哪種曲線上

1. A.
   圓
2. B.
   橢圓
3. C.
   雙曲線
4. D.
   拋物線

Answer 1

B
分析：根據橢圓方程算出A（-a，0），B（A，0）．設P（m，n），Q（x，y），可得、關于m、n、x、y的坐標形式，由•=0建立關系式，化簡得m+a=-，同理由•=0建立關系式，得m-a=-，再將所得的兩個式子對應相乘，結合點P（m，n）是橢圓上的點，化簡得，即為動點Q的軌跡方程，可得本題答案．
解答：解：設P（m，n），Q（x，y）
∵橢圓M的方程為，
∴作出橢圓如圖所示，可得長軸的端點為A（-a，0），B（A，0）
∴=（x+a，y），=（m+a，n）
∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=-…①
同理根據•=0，可得m-a=-…②
①×②，可得m²-a²=．…③
∵點P（m，n）是橢圓上的動點，
∴，整理得n²=（a²-m²），
代入③可得：m²-a²=（a²-m²）•，化簡得
此方程對應的圖形是焦點在y軸上的橢圓，可得動點Q的軌跡是一個橢圓，B項是正確答案
故選：B
點評：本題給出橢圓的長軸為AB，橢圓上的動點P滿足若•=0且•=0，求動點Q的軌跡方程，著重考查了橢圓的簡單幾何性質、向量數量積的計算公式和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．