Question

（2012•茂名二模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），離心率為

1

2

，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x=

a2

c

的最小距離為2，延長F₂P至Q使得|

F2Q

|=2a，線段F₁Q上存在異于F₁的點(diǎn)T滿足

PT

•

TF1

=0．
（1）求橢圓的方程；
（2）求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）求證：過直線l：x=

a2

c

上任意一點(diǎn)必可以作兩條直線與T的軌跡C相切，并且過兩切點(diǎn)的直線經(jīng)過定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓離心率為

1

2

，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x=

a2

c

的最小距離為2，建立方程組，即可求得橢圓的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)，分類討論：當(dāng)P，T重合時(shí)，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2，0）和點(diǎn)（-2，0：當(dāng)P，T不重合時(shí)，由

PT

•

TF1

=0，得

PT

⊥

TF1

，由|

F2Q

|=2a及橢圓的定義，可得PT為線段F₁Q的垂直平分線，T為線段F₁Q的中點(diǎn)，由此可求點(diǎn)T的軌跡C的方程；
（3）設(shè)兩條切線為ME，MF，則可得O，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)都在以O(shè)M為直徑的圓上，可求圓的方程，進(jìn)而可得兩圓的公共弦的方程，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：依題意，∵橢圓離心率為

1

2

，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x=

a2

c

的最小距離為2，
∴

c a = 1 2 a2 c -a=2

，…（2分）
∴

c=1 a=2

，∴b²=a²-c²=3 …（3分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1   …（4分）
（2）解：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為（x，y）．
當(dāng)P，T重合時(shí)，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2，0）和點(diǎn)（-2，0），…（5分）
當(dāng)P，T不重合時(shí)，由

PT

•

TF1

=0，得

PT

⊥

TF1

．…（6分）
由|

F2Q

|=2a及橢圓的定義，|

PQ

|=|

QF2

|-|

PF2

|=2a-|

PF2

|=|

PF1

|，…（7分）
所以PT為線段F₁Q的垂直平分線，T為線段F₁Q的中點(diǎn)
在△QF₁F₂中，

OT

=

1

2

|

F2Q

|=a=2，…（8分）
所以有x²+y²=4．
綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是x²+y²=4．…（9分）
（3）證明：直線l：x=

a2

c

與x²+y²=4相離，過直線上任意一點(diǎn)M（4，t）可作圓x²+y²=4③的兩條切線ME，MF  …（10分）
所以O(shè)E⊥ME，OF⊥MF，所以O(shè)，E，M，F(xiàn)四點(diǎn)都在以O(shè)M為直徑的圓上，…（11分）
其方程(x-2)2+(y-

t

2

)2=4+(

t

2

)2④…（12分）
EF為兩圓的公共弦，③-④得：EF的方程為4x+ty-4=0       …（13分）
顯然無論t為何值，直線EF經(jīng)過定點(diǎn)（1，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查平面向量知識(shí)，考查圓的方程，考查運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)，屬于中檔題．