Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè){b_n-（-1）ⁿa_n}是等比數(shù)列，且b₂=7，b₅=71，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列列式求出公差，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)可求；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)代入b_n-（-1）ⁿa_n，由{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比數(shù)列，且b₂=7，b₅=71列式求出等比數(shù)列的公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)可求，然后分n為奇數(shù)和偶數(shù)利用分組求和得答案．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₁=2且a₂，a₄，a₈成等比數(shù)列，
∴（3d+2）²=（d+2）（7d+2），
解得d=2，
故a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）令cn=bn-(-1)nan，設(shè){c_n}的公比為q，
∵b₂=7，b₅=71，a_n=2n，
∴c₂=b₂-a₂=7-4=3，c₅=b₅+a₅=71+10=81，
∴q3=

c5

c2

=

81

3

=27，故q=3，
∴cn=c2•qn-2=3×3n-2=3n-1，
即bn-(-1)nan=3n-1，
∴bn=3n-1+(-1)n2n．
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（3⁰+3¹+…+3^n-1）+[-2+4-6+…+（-1）ⁿ2n]
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=

1-3n

1-3

+2×

n

2

=

3n+2n-1

2

；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=

1-3n

1-3

+2×

n-1

2

-2n=

3n-2n-3

2

．
∴Tn=

3n+2n-1 2 (n為偶數(shù)) 3n-2n-3 2 (n為奇數(shù))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查利用分組求和法求數(shù)列的和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．