Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（i） 求a的取值范圍；
（ii） 設(shè)n為給定不小于4的正整數(shù)，當(dāng)m＞n時，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）=lnx-ax（a∈R）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0求出函數(shù)的增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，求出函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）（i）由f（x）=lnx-ax+a，知f′（x）=-a，取f′（x）=-a=0，則ln（）-1＜0，由此能求出a的取值范圍．
（ii）由m＞n≥4，a＞，f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0），知m-k＞0，f（m）-f（k）=lnm-am+lnk-ak=ln-a（m+k），由此能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax+a，∴f′（x）=-a，
當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得x=，
當(dāng)x＞時，f′（x）＜0，函數(shù)在（，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)x＜時，導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)在（0，）上是增函數(shù)
（Ⅱ）（i）∵f（x）=lnx-ax+a，∴f′（x）=-a，
取f′（x）=-a=0，則x=，∴l(xiāng)n（）-1＜0，即＜e，所以a＞．
（ii）∵m＞n≥4，a＞，f（x）=lnx-ax+a（a∈R，x＞0）
∴m-k＞0，f（m）-f（k）=lnm-am-lnk+ak=ln-a（m-k），
∴
∴
點評：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的鍵是理解并掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，此類題一般有兩類題型，一類是利用導(dǎo)數(shù)符號得出單調(diào)性，一類是由單調(diào)性得出導(dǎo)數(shù)的符號，本題屬于第一種類型．本題的第二小問是根據(jù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，本題中由于參數(shù)的存在，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)的符號不定，故需要對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，以確定函數(shù)在這個區(qū)間上的最值．