已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=-1, ∴===,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1=,∴b1=-1=,
bn=b1qn-1=n-1=n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-=,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=++…+<++…+
==1-<1(n∈N*).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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x |
a |
b |
x |
4c2 |
k(k+c) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022
已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題
x |
a |
b |
x |
4c2 |
k(k+c) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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