Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，若ax+y的最大值為1，則直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍是

[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，z=y-ax表示直線在y軸上的截距，-a表示直線的斜率，欲求直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍，只需求出a的取值范圍即可．

解答：解：約束條件

x+y-1≤0 x-y+1≥0 y≥0

，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖示：
根據(jù)題意知，目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（其中a為常數(shù)）在A（0，1）處取得最大值1，
則直線z=ax+y的斜率-a必須介于直線x+y-1=0和直線x-y+1=0的斜率之間，即要滿足-1≤a≤1，
從而直線ax+y+1=0的斜率-a的取值范圍是[-1，1]，
則直線ax+y+1=0的傾斜角的取值范圍是[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．
故答案為：[0，

π

4

]∪[

3π

4

，π）．

點(diǎn)評(píng)：借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．