Question

5．函數(shù)f（x）=（a-1）4^x+2^x+3．
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）在[-1，3]的最值．
（2）當(dāng)x∈（-1，3），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，配方得f（x）=-$\frac{1}{2}$•4^x+2^x+3=-$\frac{1}{2}$（2^x-1）²+$\frac{7}{2}$，從而求函數(shù)的最值；
（2）化簡可得1-a＜$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$，從而令g（x）=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3（2^-x）²+2^-x，從而求得．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$•4^x+2^x+3=-$\frac{1}{2}$（2^x-1）²+$\frac{7}{2}$，
∵x∈[-1，3]，
∴2^x∈[$\frac{1}{2}$，8]，
∴當(dāng)2^x=1，即x=0時，f_max（x）=$\frac{7}{2}$，
當(dāng)2^x=8，即x=3時，f_min（x）=-21；
（2）∵f（x）＞0，
∴（a-1）4^x+2^x+3＞0，
∴1-a＜$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$，
令g（x）=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3（2^-x）²+2^-x，
∴x∈（-1，3），
∴2^-x∈（$\frac{1}{8}$，2），
∴3（2^-x）²+2^-x∈（$\frac{11}{64}$，14），
∵當(dāng)x∈（-1，3），f（x）＞0恒成立，
∴1-a≤$\frac{11}{64}$，
故a≥$\frac{53}{64}$；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{53}{64}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的最值的求法及恒成立問題與最值問題的應(yīng)用，關(guān)鍵在于獨(dú)立參數(shù)．