Question

11．如圖所示的五面體中，四邊形ABCD是矩形，AD⊥平面ABEF，AB∥EF，且AD=1，AB=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，AF=BE=2，點P、Q、M分別為AE、BD、EF的中點．
（1）求證：PQ∥平面BCE；
（2）求證：AM⊥平面ADF．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，由三角形中位線定理得PQ∥EC，由此能證明PQ∥平面BCE．
（2）由已知得四邊形ABEM為平行四邊形，從而AM∥BE，且AM=BE=2．再由勾股定理得AM⊥AF．由此能證明AM⊥平面ADF．

解答 證明：（1）連結(jié)AC，如圖所示：
因為四邊形ABCD是矩形，且Q為BD的中點，
所以Q為AC的中點．
又因為P為AE的中點，所以PQ∥EC，
又因為PQ?平面BCE，EC?平面BCE，所以PQ∥平面BCE．（7分）
（2）因為AB∥EM，且AB=EM=2$\sqrt{2}$，
所以四邊形ABEM為平行四邊形，
所以AM∥BE，且AM=BE=2．
在△AMF中，由AM=AF=2，MF=2$\sqrt{2}$，得AM²+AF²=MF²，故AM⊥AF．
由AD⊥平面ABEF，得AD⊥AM，
因為AD∩AF=A，所以AM⊥平面ADF．（14分）

點評 本題考查線面平行和線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．