Question

【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的焦距為2．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作軸且與橢圓交于另一點(diǎn)， 為橢圓的右焦點(diǎn)，求證：三點(diǎn)在同一條直線上．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題（Ⅰ）由焦距為2可得，解方程得的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得， ，直線方程為，結(jié)合點(diǎn)在上，用， 代替， ，化簡整理直線方程為，令，整理得，得證.

試題解析：（Ⅰ）∵橢圓的焦點(diǎn)在軸上，

∴，即，

∵橢圓的焦距為2，且，

∴，解得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（Ⅱ）由題知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為，點(diǎn)，

則得，

即， ，

， ，

由題可得直線方程為，

又∵， ，

∴直線方程為，

令，整理得

，

即直線過點(diǎn)，

又∵橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴三點(diǎn)在同一條直線上．