(1)證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)已知△ABC的面積S=
1
2
,
AB
AC
=3
,且cosB=
3
5
,求cosC.
分析:(1)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O,并作出角α、β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點(diǎn)P1,終邊交⊙O于P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于P3;角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于P4.可得P1,P2,P3,P4的坐標(biāo),利用P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式,即可證得結(jié)論.
(2)由S=
1
2
bcsinA=
1
2
>0,
AB
AC
=bccosA=3可求得sinA=
10
10
,cosA=
3
10
10
,又cosB=
3
5
,可求得sinB=
4
5
,利用兩角和的余弦即可求得cosC.
解答:解:(1)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O,并作出角α、β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點(diǎn)P1,終邊交⊙O于P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于P3;角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于P4
則P1(1,0),P2(cosα,sinα),
P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β))   …(4分)
由P1P3=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2…(6分)
展開(kāi)并整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.…(8分)
(2)由題意,設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c
則S=
1
2
bcsinA=
1
2
>0,
AB
AC
=bccosA=3>0
∴A∈(0,
π
2
),cosA=3sinA
又sin2A+cos2A=1,
∴sinA=
10
10
,cosA=
3
10
10
…(10分)
由題意,cosB=
3
5
,sinB=
4
5
…(11分)
∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=
10
10
,
故cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-
10
10
…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查兩角和與差的余弦函數(shù),考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,利用任意角的三角函數(shù)的定義證明兩角和的余弦公式Cα+β是難點(diǎn),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(1)證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)已知△ABC的面積S=數(shù)學(xué)公式,數(shù)學(xué)公式,且數(shù)學(xué)公式,求cosC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿分12分) 

(Ⅰ)1證明兩角和的余弦公式;

      2由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.

(Ⅱ)已知,求

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿分12分)

(Ⅰ)1證明兩角和的余弦公式;

      2由推導(dǎo)兩角和的正弦公式.

(Ⅱ)已知△ABC的面積,且,求cosC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年江蘇省泰州市靖江市高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(1)證明兩角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;
(2)已知△ABC的面積S=,,且,求cosC.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案