Question

已知函數(shù)，（其中為常數(shù)）；

（Ⅰ）如果函數(shù)和有相同的極值點，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，問是否存在，使得，若存在，請求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（Ⅲ）記函數(shù)，若函數(shù)有5個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（I），則，

令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或．  

（II）假設(shè)存在，即存在，使得

，

當時，又，故，則存在，使得，                        

 當即時，得，； 

 當即時，得，

無解；綜上：．                      

（III）據(jù)題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．

（ⅰ）有2個不同的實根，只需滿足；

（ⅱ）有3個不同的實根，

當即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍；

當即時，不符合題意，舍；

當即時，在處取得極大值，；所以；                                  

因為（�。�（ⅱ）要同時滿足，故；（注：也對）

下證：這5個實根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立；

若存在使得，

由，即，得，

當時，，不符合，舍去；

當時，既有   ①；

又由，即  ②；    聯(lián)立①②式，可得；

而當時，沒有5個不同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．

綜上，當時，函數(shù)有5個不同的零點．