已知圓,定點(diǎn),點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足
(I)求點(diǎn)G的軌跡C的方程;
(II)過(guò)點(diǎn)(2,0)作直線l,與曲線C交于A、B兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),是否存在這樣的直線l,使四邊形OASB的對(duì)角線相等(即|OS|=|AB|)?若存在,求出直線l的方程;若不存在,試說(shuō)明理由.
【答案】分析:(I)點(diǎn)Q在NP上,點(diǎn)G在MP上,且滿足故有|GN|+|GM|=|MP|=6,由橢圓的定義知G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,由定義寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程即可得到點(diǎn)G的軌跡C的方程.
(II),所以四邊形OASB為平行四邊形,若存在l使得||=||,則四邊形OASB必為矩形即有,令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則有x1x2+y1y2=0,由直線l與曲線C聯(lián)立求利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1x2,y1y2的參數(shù)表達(dá)式,代入求直線的斜率k,若能求出,則說(shuō)明存在,若不能求出,則不存在.
解答:解:(I)Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN⇒GQ為PN的中垂線⇒|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3,半焦距,
∴短半軸長(zhǎng)b=2,∴點(diǎn)G的軌跡方程是(5分)
(II)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025125040195511890/SYS201310251250401955118020_DA/8.png">,所以四邊形OASB為平行四邊形
若存在l使得||=||,則四邊形OASB為矩形∴
若l的斜率不存在,直線l的方程為x=2,
,與矛盾,
故l的斜率存在.(7分)
設(shè)l的方程為y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2


y1y2=[k(x1-2)][k(x2-2)]=②(9分)
把①、②代入x1x2+y1y2=0得
∴存在直線l:3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四邊形OASB的對(duì)角線相等.
點(diǎn)評(píng):本題的考點(diǎn)是軌跡方程,考查了定義法求橢圓的軌跡方程與直線與橢圓的相交問(wèn)題,直線與橢圓的關(guān)系問(wèn)題是圓錐曲線中一類常考的綜合題,其規(guī)律是聯(lián)立方程⇒消元得關(guān)于x,或y的一元二次方程,再利用根系關(guān)系得到兩個(gè)直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程,學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意總結(jié)這一共性.
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