Question

如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA、NC都垂直于平面ABCD，且PA=AB=4，NC=2，M是線(xiàn)段PA上一動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）若PC∥平面MEF，試求PM：MA的值；
（Ⅲ）當(dāng)M是PA中點(diǎn)時(shí)，求二面角M-EF-N的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD，由已知中E，F(xiàn)分別是正方形ABCD邊BC、CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，PA、NC都垂直于平面ABCD，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)及三角形中位線(xiàn)定理可得EF⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面PAC⊥平面NEF；
（Ⅱ）連接OM，由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，可得PC∥OM，再由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到PM：MA的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）的結(jié)論，EF⊥平面PAC，可得EF⊥OM，而在等腰三角形NEF中，由等腰三角形“三線(xiàn)合一”可得NO⊥EF，故∠MON為所求二面角M-EF-N的平面角，解三角形MON即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）連接BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵BD⊥AC，AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC，
又∵E，F(xiàn)分別是BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∴EF⊥平面PAC，又EF?平面NEF，
∴平面PAC⊥平面NEF；（4分）
（Ⅱ）連接OM，
∵PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF=OM，
∴PC∥OM，
∴

PM

PA

=

OC

AC

=

1

4

，故PM：MA=1：3（6分）
（Ⅲ）∵EF⊥平面PAC，OM?平面PAC，∴EF⊥OM，
在等腰三角形NEF中，點(diǎn)O為EF的中點(diǎn)，∴NO⊥EF，
∴∠MON為所求二面角M-EF-N的平面角，（8分）
∵點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，∴AM=NC=2，
所以在矩形MNCA中，可求得MN=AC=4

2

，NO=

6

，MO=

22

，（10分）
在△MON中，由余弦定理可求得cos∠MON=

MO2+ON2-MN2

2•MO•ON

=-

33

33

，
∴二面角M-EF-N的余弦值為-

33

33

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)雖二面角的平面角及求法，直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)及平面與平面垂直的判定及性質(zhì)，判斷空間直線(xiàn)與平面之間的位置關(guān)系，熟練掌握相應(yīng)判定定理是關(guān)鍵，而求二面角，找出二面角的平面角是關(guān)鍵．