Question

15．設(shè)命題p：函數(shù)y=c^x為減函數(shù)；命題q：已知c＞0，當(dāng)x∈[1，2]時，函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{4x}＞\frac{1}{c}$恒成立，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 先求出命題p，q成立的等價條件，利用p∨q為真命題，p∧q為假命題，確定實數(shù)c的取值范圍

解答 解∵指數(shù)函數(shù)y=c^x數(shù)為減函數(shù)，
∴0＜c＜1，
即p真時，0＜c＜1．
函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{4x}$＞$\frac{1}{c}$對x∈[1，2]恒成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在x∈[1，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（1）=$\frac{5}{4}$，
$\frac{1}{c}$＜$\frac{5}{4}$，得c＞$\frac{4}{5}$，
即q真時，c＞$\frac{4}{5}$，
∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p、q一真一假．
①p真q假時，0＜c≤$\frac{4}{5}$；②p假q真時，c≥1．
故c的取值范圍為0＜c≤$\frac{4}{5}$或c≥1．

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出命題p，q的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．