Question

【題目】有一個(gè)游戲：盒子里有個(gè)球，甲，乙兩人依次輪流拿球（不放回），每人每次至少拿一個(gè)，至多拿三個(gè)，誰拿到最后一個(gè)球就算誰贏。若甲先拿，則下列說法正確的有：

__________．

①若，則甲有必贏的策略；②若，則乙有必贏的策略；

③ 若，則乙有必贏的策略；④若，則甲有必贏的策略。

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

對每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，前面3個(gè)可以舉反例說明其是錯(cuò)誤的，對最后一個(gè)要正面分析推理.

先證明以下事實(shí)：

當(dāng)遇到盒中球數(shù)為3、4、5時(shí)，先拿者贏。

證明：不妨設(shè)甲先拿，因?yàn)樽詈鬄橐粋�(gè)球，所以當(dāng)球數(shù)為3時(shí)，甲先拿1個(gè)，乙只能拿一個(gè)，最后甲拿1個(gè)贏。當(dāng)球數(shù)為4時(shí)，甲先拿2個(gè)，乙只能拿一個(gè)，最后甲拿1個(gè)贏。當(dāng)n=5時(shí)，甲先拿3個(gè)即可贏。

當(dāng)球數(shù)5時(shí)，甲先拿3個(gè)，乙只能拿一個(gè)，最后甲拿1個(gè)贏。證完。

由已證命題可知①正確。

當(dāng)n=6時(shí)，無論甲先拿幾個(gè)球皆輸。因?yàn)槿艏紫饶?/span>1個(gè)，則還剩5個(gè)，據(jù)上述命題這時(shí)乙必贏；若甲先拿2個(gè)，則還剩4個(gè)，據(jù)上述命題這時(shí)乙必贏；若甲先拿3個(gè)，則還剩3個(gè)，據(jù)上述命題這時(shí)乙必贏；所以②正確。

當(dāng)n=7時(shí)，乙不能必贏。反例：當(dāng)甲先拿1個(gè)時(shí)，還剩6個(gè)，由②知甲贏。所以③錯(cuò)誤。

當(dāng)n=9時(shí)，甲先拿3個(gè)，還剩6個(gè)，據(jù)②知甲贏。所以④正確。

綜上，應(yīng)填①②④.