Question

當(dāng)0≤x≤

1

2

時(shí)，|ax-2x³|≤

1

2

恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、

  3

  2

  ≥a≥-

  1

  2

• B、-

  1

  2

  ≥a≥

  1

  2

• C、a≥-

  1

  2

• D、a≤

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得 0≤x≤

1

2

時(shí)，即

a≥2x2- 1 2x a≤2x2+ 1 2x

．利用單調(diào)性求得函數(shù)y=2x²-

1

2x

在[0

1

2

]上的最大值、函數(shù)t=2x²+

1

2x

在[0

1

2

]上的最小值，即可求得a的范圍．

解答： 解：由題意可得 0≤x≤

1

2

時(shí)，-

1

2

≤ax-2x³≤

1

2

恒成立，即

a≥2x2- 1 2x a≤2x2+ 1 2x

．
由于函數(shù)y=2x²-

1

2x

在[0

1

2

]上是增函數(shù)，故y的最大值為 2×

1

4

-

1

2× 1 2

=-

1

2

．
對(duì)于函數(shù)t=2x²+

1

2x

，當(dāng)0≤x≤

1

2

時(shí)，∵t′=

4x2-1

2x2

≤0，
故函數(shù)t在[0

1

2

]上是減函數(shù)，故t的最小值為  2×

1

4

+

1

2× 1 2

=

3

2

．
根據(jù)題意可得a大于或等于y的最大值，且a小于或等于t的最小值，故a的范圍為[-

1

2

，

3

2

]，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)檔題．