Question

已知：函數(shù)f(x)＝[x[x]](x∈R)，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)． 如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2． (1) 判斷f(x)的奇偶性； (2) 若x∈[－2，3]，求f(x)的值域； (3) 若x∈[0，n](n∈N*),f(x)的值域為An，現(xiàn)將An，中的元素的個數(shù)記為an．試求an+1與an的關(guān)系，并進(jìn)一步求出an的表達(dá)式

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵f()＝[[]]＝[·1]＝[]＝1， f(－)＝[－[－]]＝[－·(－2)]＝[3]＝3， ∴f(－)≠f(),f(－)≠－f()，故f(x)為非奇非偶函數(shù)．……………………4分
(2)	解：當(dāng)－2≤x<－1時，[x]＝－2，則2<x[x]≤4， ∴f(x)可取2，3，4； 當(dāng)－1≤x<0時，[x]＝－1，則0<x[x]≤1， ∴f(x)可取0，1； 當(dāng)0≤x<1時，[x]＝0，則x[x]＝0， ∴f(x)＝0； 當(dāng)1≤x<2時，[x]＝1，則1≤x[x]<2， ∴f(x)＝1； 當(dāng)2≤x<3時，[x]＝2，則4≤x[x]<6， ∴f(x)可取4，5； 又f(3)＝[3[3]]＝9， 故所求f(x)的值域為{0，1，2，3，4，5，9}，……9分
(3)	解：當(dāng)n<x<n＋1時，[x]＝n，則n2<x[x]<n(n＋1)， 故f(x)可取n2，n2＋1，n2＋2，…，n2＋n－1， 當(dāng)x＝n＋1時，f(n＋1)＝(n＋1)2， 又當(dāng)x∈[0，n]時，顯然有f(x)≤n2． 因此，可得an+1＝an＋n，又由(2)知，a1＝2， ∴an＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＋a1 ＝(2－1)＋(3－1)＋(4－1)＋1…＋(n－1)＋2 ＝ …………………………………………………………14分