Question

一個(gè)四棱錐的三視圖和直觀圖如圖所示，E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)．
（1）指出幾何體的主要特征（高及底的形狀）；
（2）求證：PB∥平面AEC；
（3）若F為側(cè)棱PA上的一點(diǎn)，且

PF

FA

=λ，則λ為何值時(shí)，PA⊥平面BDF？并求此時(shí)直線(xiàn)EC與平面BDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中的俯視圖我們可以判斷該幾何體的底面形狀及幾何特征，由正視圖和側(cè)視圖，可以判斷該幾何體為正棱錐，及棱錐的高，綜合后即可得到幾何體的主要特征；
（2）設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，連接OE，由三角形的中位線(xiàn)定理可得，OE∥PB，再由線(xiàn)面平行的判定定理，即可得到PB∥平面AEC；
（3）由（1）的結(jié)論，我們易判斷棱錐的側(cè)面，均為等腰三角形，令F為PA的靠近P點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由勾股定理，易得PA⊥BF，PA⊥DF，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得F滿(mǎn)足條件，由F是中點(diǎn)，易得此時(shí)λ的值，并可利用余弦定理求出PA與EC夾角的余弦值，結(jié)合PA⊥平面BDF，即可得到直線(xiàn)EC與平面BDF所成角的正弦值．

解答：解：（1）由已知中俯視圖可知該幾何體為底面ABCD為菱形，且有一個(gè)角為60°，邊長(zhǎng)為2，
由正視圖和側(cè)視圖可得：幾何體為高度為PO=1的四棱錐
（2）設(shè)AC、BD的交點(diǎn)為O，連接OE
則OE為△DPB的中位線(xiàn)，OE∥PB，
又由OE?平面EAC，PB?平面EAC，
∴PB∥平面AEC；
（3）連接OP，則OP⊥平面ABCD
由OP=1，底面ABCD為菱形，且有一個(gè)角為60°，邊長(zhǎng)為2，
則OD=1，AC=2

3

則PB=PD=

2

，PA=PC=2
易得側(cè)面PAB和PAD均為等腰三角形
令FP=

1

2

，由勾股定理可得則PA⊥BF，PA⊥DF
又由BF∩DF=F
∴PA⊥平面BDF
此時(shí)

PF

FA

=λ=

1

3

此時(shí)PA與EC夾角的余弦值為-

5 14

28

又∵PA⊥平面BDF
∴直線(xiàn)EC與平面BDF所成角的正弦值為

5 14

28

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與平面平行的判定，直線(xiàn)與平面垂直的判定，直線(xiàn)與平面的夾角，其中根據(jù)已知的三視圖分析出該幾何體的幾何特征，是解答本題的關(guān)鍵．