Question

11．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-4≥0\\ 2y-3≤0\end{array}\right.$（注：圖中的正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度）．
（1）在給出的直角坐標(biāo)系中畫出平面區(qū)域；
（2）求x+3y的最大值；
（3）求$\frac{y}{x}$的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二元一次不等式組的應(yīng)用進(jìn)行作圖即可．
（2）利用平移進(jìn)行求解即可．
（3）利用直線斜率的幾何意義進(jìn)行求解．

解答 解：（1）畫出如圖所示的平面區(qū)域：
（2）由z=x+3y，得$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域，
平移直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，由平移可知當(dāng)直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，3）時(shí)，
直線$y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$，的截距最大，此時(shí)z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y=3}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{7}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{7}{2}，\frac{3}{2}$），
代入z=x+3y，得z=$\frac{7}{2}$+$\frac{3}{2}$×3=8，
即目標(biāo)函數(shù)z=x+3y的最大值為8．
（3）設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則k的幾何意義切區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OC的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{2y-3=0}\\{x+2y-4=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{2}$，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-4=0}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{8}{3}$，$\frac{2}{3}$）
依據(jù)平面區(qū)域得${（{\frac{y}{x}}）_{min}}=\frac{{\frac{2}{3}}}{{\frac{8}{3}}}=\frac{1}{4}，{（{\frac{y}{x}}）_{max}}=\frac{{\frac{3}{2}}}{1}=\frac{3}{2}$
所以$\frac{y}{x}$的范圍是[$\frac{1}{4}，\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平移和直線斜率，求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問(wèn)題中的基本方法．