Question

在班級活動中，某小組的4 名男生和2 名女生站成一排表演節(jié)目：
（Ⅰ）兩名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？
（Ⅱ）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？
（Ⅲ）4名男生相鄰有多少種不同的排法？
（Ⅳ）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學身高互不相等）

Answer 1

【答案】分析：（I）兩名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴種結果，再在男生寫出的5個空中排列兩名女生，有A₅²種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有24×20種結果．
（II）分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，相加得到結果．
（III）4名同學相鄰可以把四名男生作為一個元素，和2名女生共有三個元素排列，有A₃³=6種結果，其中四名男生內(nèi)部還有一個排列，共有6A₄⁴=144種結果
（Ⅳ）首先把6名同學全排列，共有A₆⁶種結果，甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A₃³種結果，要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結果數(shù)只占6種結果中的一種，有種結果．
解答：解：（I）由題意知兩名女生不能相鄰，可以先排列男生，有A₄⁴=24種結果，
再在男生寫出的5個空中排列兩名女生，有A₅²=20種結果，
根據(jù)分步計數(shù)原理知共有24×20=480種結果
即兩名女生不能相鄰的排列方法有480種結果，
（II）由題意知可以分成兩種情況甲站在右端有A₅⁵=120種結果，
甲不在右端，甲有4種情況，乙也有4種結果，余下的4個人在四個位置全排列，共有4×4×A₄⁴=384種結果，
∴根據(jù)分步計數(shù)原理知共有120+384=504種結果
（III）4名同學相鄰可以把四名男生作為一個元素，和2名女生共有三個元素排列，有A₃³=6種結果，
其中四名男生內(nèi)部還有一個排列，共有6A₄⁴=144種結果．
（Ⅳ）首先把6名同學全排列，共有A₆⁶=720種結果，
甲乙丙三人內(nèi)部的排列共有A₃³=6種結果，
要使的甲乙丙三個人按照一個高矮順序排列，結果數(shù)只占6種結果中的一種，有=120種結果．
即甲乙丙按照高矮的順序排列共有120種結果．
點評：本題考查排列組合及簡單的計數(shù)問題，本題解題的關鍵是不相鄰問題采用插空法，相鄰問題采用捆綁法，按照高矮順序排列采用全排列除以三個人之間的排列．