Question

已知函數(shù)f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]．
（1）求它的定義域和值域；
（2）求它的單調(diào)區(qū)間；
（3）判斷它的奇偶性；
（4）判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,復合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求它的定義域和值域；
（2）利用復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即可求它的單調(diào)區(qū)間；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和性質(zhì)即可判斷它的奇偶性；
（4）根據(jù)函數(shù)周期性的定義即可判斷它的周期性．

解答： 解：（1）要使函數(shù)有意義，則

2

sin（x-

π

4

）＞0，
即sin（x-

π

4

）＞0，
即2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，k∈Z，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，k∈Z
∴函數(shù)的定義域為（2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z）．
∵0＜

2

sin（x-

π

4

）≤

2

，
∴f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]≥log 

1

2

2

=-

1

2

，
即函數(shù)f（x）的值域是[-

1

2

，+∞）．
（2）∵當2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

3π

4

時，函數(shù)t=

2

sin（x-

π

4

）為增函數(shù)，而y=log 

1

2

t為減函數(shù)，
∴根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]單調(diào)遞減．
∵當2kπ+

3π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

時，函數(shù)t=

2

sin（x-

π

4

）為減函數(shù)，而y=log 

1

2

t為減函數(shù)，
∴根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，此時函數(shù)f（x）=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]單調(diào)遞增．
∴單調(diào)遞增區(qū)間是（2kπ+

3π

4

，2kπ+

5π

4

）（k∈Z），
單調(diào)遞減區(qū)間是（2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

）（k∈Z）．
（3）因為f（x）定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點不關(guān)于原點對稱，
故f（x）是非奇非偶函數(shù)．
（4）∵f（x+2π）=log 

1

2

[

2

sin（x+2π-

π

4

）]=log 

1

2

[

2

sin（x-

π

4

）]=f（x），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=2π．

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合判斷，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性，奇偶性，周期性以及定義域，值域的求解和判斷．