Question

多面體EF-ABCD中，ABCD為正方形，BE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB=CF=2BE．
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求平面EFD與平面ABCD所成的銳二面角．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（Ⅰ）根據(jù)BE⊥平面ABCD，可知BD為DE為在底面ABCD上的射影，在正方形ABCD中，AC⊥BD，故可利用三垂線定理即得結(jié)論；
（Ⅱ）先作出二面角F-DG-C的平面角，延長FE與CB，交于點G，連接DG，則DG為平面EFD與平面ABCD的交線，過C作CH⊥DG交DG于H，連接FH，則∠FHC為二面角F-DG-C的平面角，從而可求銳二面角．

解答：  （Ⅰ）證明：連接BD
∵BE⊥平面ABCD
∴BD為DE為在底面ABCD上的射影
∴在正方形ABCD中，AC⊥BD…
∴DE⊥AC…4分
（Ⅱ）解：延長FE與CB，交于點G，連接DG，則DG為平面EFD與平面ABCD的交線，
過C作CH⊥DG交DG于H，連接FH
∵FC⊥平面ABCD，
∴CH為FH在面ABCD上的射影
∴FH⊥DG
∴∠FHC為二面角F-DG-C的平面角                  8分
設(shè)BE=1，在△DCG中，CH=

2×4

4+16

=

4

5

 在△FCH中，F(xiàn)C=2，
∴tan∠FHC=

2 5

4

=

5

2

∴所求銳二面角為arctan

5

2

…12分

點評：本題以多面體為載體，考查線面垂直，考查三垂線定理，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運用三垂線定理，作出面面角．