Question

如圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）在線段PB上找一點M，使得ME⊥平面PBD；
（2）求平面PBE與平面PAB的夾角．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）M為線段PB的中點，連接AC與BD交于點F，連接MF，由F為BD的中點，知MF∥PD且MF=

1

2

PD．由EC∥PD，且EC=

1

2

PD，知四邊形MFCE為平行四邊形，由此能證明ME⊥面PDB；
（2）求出E到平面PAB的距離、ME，即可求出平面PBE與平面PAB的夾角．

解答： （1）證明：M為線段PB的中點，連接AC與BD交于點F，連接MF，
∵F為BD的中點，∴MF∥PD且MF=

1

2

PD．
又EC∥PD，且EC=

1

2

PD，
∴MF∥EC，且MF=EC，
∴四邊形MFCE為平行四邊形，
∴ME∥FC．
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD．
又PD∩BD=D，∴AC⊥面PBD，∴ME⊥面PDB；
（2）解：△PBE中，BE=PE=

5

，PB=2

3

，∴ME=

2

，
∵E到平面PAB的距離等于PD中點到PA的距離，
∴E到平面PAB的距離等于

2

2

，
∴平面PBE與平面PAB的夾角的補角的余弦值為

1

2

，
∴平面PBE與平面PAB的夾角為

5π

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面所成的二面角大小的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．