Question

6．在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知角A=60°．
（1）若sinC+cosC=$\sqrt{3}$cosB，求角B的大��；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）法1：由A=60°，得C=120°-B代入已知由三角函數(shù)恒等變換化簡可得tanB=1，結(jié)合B的范圍即可求B；
法2：由A=60°知$\sqrt{3}cosB=2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB=2sinA•cosB$，又sinC=sinA•cosB+cosA•sinB，從而解得sin（90°-C）=sin（60°-B），結(jié)合角的范圍即可求B的值．
（2）法1：設(shè)△ABC的周長為y，由正弦定理可求y=$2\sqrt{3}sin（B+{30°}）+\sqrt{3}$，結(jié)合角B的范圍，可求$2\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（B+{30°}）+\sqrt{3}≤3\sqrt{3}$從而得解．
法2：由余弦定理得（b+c）²-3=3bc，由基本不等式可得${（b+c）^2}-3≤3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，即$b+c≤2\sqrt{3}$，又b+c＞a，可得$b+c＞\sqrt{3}$，從而可求△ABC周長的取值范圍．

解答 解：（1）法1：由角A=60°，得C=120°-B代入$sinC+cosC=\sqrt{3}cosB$，
得$sin（{120°}-B）+cos（{120°}-B）=\sqrt{3}cosB$，…（1分）
∴sin120°cosB-cos120°sinB+cos120°cosB+sin120°sinB=$\sqrt{3}$cosB，
即sinB=cosB，∴tanB=1…（4分）
又0°＜B＜120°，∴B=45°．…（6分）
法2：由A=60°知$\sqrt{3}cosB=2•\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB=2sinA•cosB$，…（1分）
因此有sinC+cosC=2sinAcosB，
又sinC=sin（A+B）=sinA•cosB+cosA•sinB，代入上式得cosC=sin（A-B），
即sin（90°-C）=sin（60°-B），…（4分）
又-30°＜90°-C＜90°，-60°＜60°-B＜60°∴90°-C=60°-B即C-B=30°，又C+B=120°
∴B=45°…（6分）
（2）法1：由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=2$，設(shè)△ABC的周長為y，
則$y=2sinB+2sinC+\sqrt{3}=2sinB+2sin（{120°}-B）+\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}sin（B+{30°}）+\sqrt{3}$，…（8分）
又∵0°＜B＜120°，即30°＜B+30°＜150°，
∴$\frac{1}{2}＜sin（B+{30°}）≤1$，…（10分）
從而$2\sqrt{3}＜2\sqrt{3}sin（B+{30°}）+\sqrt{3}≤3\sqrt{3}$∴△ABC周長的取值范圍是$（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．…（12分）
法2：由余弦定理得${（\sqrt{3}）^2}={b^2}+{c^2}-2bccos\frac{π}{3}$，即（b+c）²-3=3bc，
∴${（b+c）^2}-3≤3{（\frac{b+c}{2}）^2}$，即$b+c≤2\sqrt{3}$，…（8分） 
又∵b+c＞a，∴$b+c＞\sqrt{3}$…（10分）
∴△ABC周長的取值范圍是$（2\sqrt{3}，3\sqrt{3}]$．…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，基本不等式的綜合應(yīng)用，解題時注意分析角的范圍，綜合性、技巧性強(qiáng)，屬于中檔題．