Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為

2

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

6

3

，∠AOB的大小是否為定值？若是求出該定值，不是說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用離心率e=

2

2

，過右焦點(diǎn)F₁作與坐標(biāo)軸垂直的弦且弦長為

2

，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ））分類討論，再設(shè)直線方程代入題意方程，利用韋達(dá)定理，及坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

6

3

，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題意得

c a = 2 2 2b2 a = 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=1．
所以橢圓的方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為

6

3

可知A(

6

3

，

6

3

)，B(

6

3

，-

6

3

)或A(-

6

3

，-

6

3

)，B(-

6

3

，

6

3

)，
∴

OA

•

OB

=0，∴∠AOB=90°
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵原點(diǎn)O到直線l的距離為

6

3

，
∴

|m|

1+k2

=

6

3

，整理得3m²=2（k²+1）（*）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0．
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）=8（2k²-m²+1），
將（*）式代入得△=

32k2+8

3

＞0，或△=16m2+8＞0，
x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

．

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =k2• 2m2-2 2k2+1 +km• -4km 2k2+1 +m2= m2-2k2 2k2+1 .

x1x2+y1y2=

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，
∴∠AOB=90°．
綜上分析，∠AOB的大小為定值，且∠AOB=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．