Question

14．設函數(shù)f（x）=e^x-mx，x∈R．
（1）已知曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x+by=1，求實數(shù)m的值；
（2）若f（x）＞0恒成立，求m的范圍；
（3）當m＞1時，求函數(shù)f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意可得f′（0）=1-m=-$\frac{1}$，再由切點處的函數(shù)值相等求出b，則實數(shù)m的值可求；
（2）對m分類分析原函數(shù)的導函數(shù)的符號，由單調(diào)性求出原函數(shù)的最小值，再由最小值大于0求得m的范圍；
（3）由（2）可知，當m＞1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再由單調(diào)性求得函數(shù)f（x）在[0，m]上的最大值．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-mx，得f′（x）=e^x-m，
∴f′（0）=e⁰-m=1-m，
又f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為x+by=1，
∴f′（0）=1-m=-$\frac{1}$，即m=1+$\frac{1}$，
又f（0）=1=$\frac{1}$，
∴m=1+$\frac{1}=1+1=2$；
（2）f′（x）=e^x-m，
若m=0，滿足f（x）＞0恒成立；
若m＜0，則f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）=e^x-mx為增函數(shù)，
當x→-∞時，f（x）=e^x-mx→-∞，不滿足f（x）＞0恒成立；
若m＞0，由f′（x）=e^x-m=0，得x=lnm，
∴當x∈（-∞，lnm）時，f′（x）＜0；
當x∈（lnm，+∞）時，f′（x）＞0．
∴f（x）在（-∞，lnm）上單調(diào)遞減，在（lnm，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（lnm）=e^lnm-mlnm=m（1-lnm），
由m（1-lnm）＞0，得0＜m＜e．
綜上，m的取值范圍為[0，e）；
（3）由（2）知，當m＞1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在[0，m]上單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）在[0，m]上的最大值為f（m）=e^m-m²．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，訓練了函數(shù)恒成立問題，是壓軸題．