(2009•荊州模擬)已知F1、F2為橢圓C:
x2
m+1
+
y2
m
=1的兩個焦點(diǎn),P為橢圓上的動點(diǎn),則△F1PF2面積的最大值為2,則橢圓的離心率e為( 。
分析:由題意得c=1,根據(jù)橢圓的性質(zhì)得當(dāng)點(diǎn)P落在短軸的端點(diǎn)時,△PF1F2的面積最大,結(jié)合題意解出b=2,再用平方關(guān)系算出a的值.最后根據(jù)橢圓離心率公式,即可算出本題的答案.
解答:解:∵橢圓C:
x2
m+1
+
y2
m
=1,
∴橢圓的a=
m+1
,b=
m
,焦距2c=|F1F2|=2.
∵P在橢圓上,△PF1F2的面積最大值為12,
∴當(dāng)點(diǎn)P落在短軸的端點(diǎn)時,△PF1F2的面積S=
1
2
×|F1F2|×b=2
得b=2,所以
m
=2,m=4,
∴a=
5

因此,該橢圓的離心率是e=
c
a
=
1
5
=
5
5

故選C.
點(diǎn)評:本題給出橢圓的焦距和焦點(diǎn)三角形面積的最大值,求橢圓的離心率.著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識,屬于中檔題.
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π
6
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5
13
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π
3
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