Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）在處的切線方程；

（2）當時，函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍；

（3）若在點處的切線與軸平行，且函數(shù)在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=0.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，再寫出切線的方程.(2)先求導(dǎo)得，轉(zhuǎn)化為與的圖像的交點有兩個，再利用數(shù)形結(jié)合分析兩個函數(shù)的圖像得到的取值范圍.(3)先轉(zhuǎn)化為當時，恒成立，即

，再構(gòu)造函數(shù)求其最小值，令其最小值大于零，得a的取值范圍.

詳解：（1）由題得所以切線方程為y=0.

（2) 當時，，，

所以有兩個極值點就是方程有兩個解，

即與的圖像的交點有兩個.

∵，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.有極大值又因為時，；當時，.

當時與的圖像的交點有0個；

當或時與的圖像的交點有1個；

當時與的圖象的交點有2個；

綜上.

（3）函數(shù)在點處的切線與軸平行，

所以且，因為，

所以且；

在時，其圖像的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，

即當時，恒成立，即

，

令，∴

設(shè)，，因為，所以，∴，

∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，

∴，當且時，，

所以在單調(diào)遞增；

∴成立

當，因為在單調(diào)遞增，所以，，

所以存在有；

當時，，單調(diào)遞減，所以有，不恒成立；

所以實數(shù)的取值范圍為.