【題目】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，設，.

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）若，，求實數(shù)的最小值；

（Ⅲ）當時，給出一個新數(shù)列，其中，設這個新數(shù)列的前項和為，若可以寫成（，且，）的形式，則稱為“指數(shù)型和”.問中的項是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請說明理由.

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）為指數(shù)型和.

【解析】

（I）通過計算證明證得，來證得數(shù)列是等比數(shù)列.

（II）利用求得數(shù)列的通項公式，由，，求得的最小值.

（III）先求得的通項公式，對分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行分類討論，根據“指數(shù)型和”的定義，求出符合題意的“指數(shù)型和”.

（I），.由于，當時，，所以數(shù)列是等比數(shù)列.，.

（II）由（I）得，，所以.因為，.當時，

，，而，所以，即，化簡得，由于當時，單調遞減，最大值為，所以

，又，所以的最小值為.

（III）由（I）當時，，當時，.也符合上式，所以對正整數(shù)都有.由，（且），只能是不小于的奇數(shù).

①當為偶數(shù)時，，由于和都是大于的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，，所以，且，相應的，即有，為“指數(shù)型和”；

② 當為奇數(shù)時，，由于是個奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以不成立，此時沒“指數(shù)型和”.

綜上所述，中的項存在“指數(shù)型和”，為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】微信運動，是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據庫的公眾賬號.用戶可以通過關注微信運動公眾號查看自己每天行走的步數(shù)，同時也可以和其他用戶進行運動量的或點贊.微信運動公眾號為了解用戶的一些情況，在微信運動用戶中隨機抽取了100名用戶，統(tǒng)計了他們某一天的步數(shù)，數(shù)據整理如下：

(萬步)

(人)

5

20

50

15

5

5

（1）根據表中數(shù)據，在如圖所示的坐標平面中作出其頻率分布直方圖，并在縱軸上標明各小長方形的高；

（2）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取3人，求至少2人步數(shù)多于1.2萬步的概率；

（3）若視頻率分布為概率分布，在微信運動用戶中隨機抽取2人，其中每日走路不超過0.8萬步的有人，超過1.2萬步的有人，設，求的分布列及數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：

上年度出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

保費

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a

隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：

出險次數(shù)

0

1

2

3

4

≥5

頻數(shù)

60

50

30

30

20

10

(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；

(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；

(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上存在極大值，求的取值范圍；

（2）若軸是曲線的一條切線，證明：當時，.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某苗木基地常年供應多種規(guī)格的優(yōu)質樹苗.為更好地銷售樹苗，建設生態(tài)文明家鄉(xiāng)和美好家園，基地積極主動地聯(lián)系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的購買合同的概率分別、、，且基地是否得到三家公司的購買合同是相互獨立的.

（1）若公司甲計劃與基地簽訂300棵銀杏實生苗的銷售合同，每棵銀杏實生苗的價格為90元，栽種后，每棵樹苗當年的成活率都為0.9，對當年沒有成活的樹苗，第二年需再補種1棵.現(xiàn)公司甲為苗木基地提供了兩種售后方案，

方案一：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地需提供一年一次，共計兩年的補種服務，且每次補種人工及運輸費用平均為800元；

方案二：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地一次性地多給公司甲60棵樹苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行負責.

若基地首次運送方案一的300棵樹苗及方案二的360棵樹苗的運費及栽種費用合計都為1600元，試估算兩種方案下苗木基地的合同收益分別是多少？

（2）記為該基地得到三家公司購買合同的個數(shù)，若，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中，，，，且，.

（1）求證：；

（2）若四棱柱的體積為，求直線與平面所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，是邊長為2的正方形，平面，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）線段上是否存在一點，使二而角等于45°？若存在，請找出點的位置；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《孫子算經》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關的問題：將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成一個數(shù)列，則該數(shù)列各項之和為（ ）

A.56383B.57171C.59189D.61242

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是一個單調遞增的等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列，是的前項和，其中，，成等差數(shù)列，.

（1）求的通項公式；

（2）若，，既成等比數(shù)列，又成等差數(shù)列.

（i）求的通項公式；

（ii）對于數(shù)列，若且，或且，則為數(shù)列的轉折點，求的轉折點個數(shù).

查看答案和解析>>

同步練習冊答案