Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，求滿足T_n≤

15

8

的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式求得首項(xiàng)，取n=n-1得另一遞推式，作差后可得數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n求得b_n，然后利用錯(cuò)位相減法求得T_n，作差判斷出T_n為遞增數(shù)列，再由數(shù)列的函數(shù)特性求得滿足T_n≤

15

8

的最大正整數(shù)n的值為6．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n+2=2a_n（n∈N^*）．
當(dāng)n=1時(shí)，求得a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，
兩式作差得：a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則an=2•2n-1=2n；
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=log22n=n，
∴T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

=1•

1

2

+2•

1

22

+3•

1

23

+…+n•

1

2n

①，

1

2

Tn=1•

1

22

+2•

1

23

+…+(n-1)•

1

2n

+n•

1

2n+1

②，
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-n•

1

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n•

1

2n+1

．
∴Tn=2-

n+2

2n

．
令f（n）=2-

n+2

2n

，則f（n+1）-f（n）=2-

n+3

2n+1

-2+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴f（n）為增函數(shù)，又∵f（6）=2-

8

26

=

15

8

，
∴滿足T_n≤

15

8

的最大正整數(shù)n的值為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比關(guān)系的確定，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．