Question

7．拋物線y²=8x的焦點為F，準線為l，A，B是拋物線上的兩個動點，且滿足$∠AFB=\frac{2π}{3}$，過線段AB的中點M作直線l的垂線，垂足為N，則$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值，是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答 解：設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，
由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a+b）²
=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤$\frac{1}{2}$$\frac{\frac{1}{2}（a+b）}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選B．

點評 本題在拋物線中，利用定義和余弦定理求$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值，著重考查拋物線的定義和簡單幾何性質、基本不等式求最值和余弦定理的應用等知識，屬于中檔題．