Question

如圖，在底面為棱形的四棱錐P-ABCD在那個(gè)，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）直接利用勾股定理的逆定理求得線線垂直，進(jìn)一步利用線面垂直的判定定理，求得結(jié)論．
（2）先做出二面角的平面角，再利用相關(guān)的比例問題求得線段長，最后求得結(jié)果．

解答： （1）證明：四棱錐P-ABCD的底面為菱形，∠ABC=60°AC=1，
所以△ABC為等邊三角形．
解得AB=BC=1
PA=1，PB=PD=

2

所以：PA²+AB²=PB²，PA²+AD²=PD²
所以：PA⊥AB，PA⊥AD
即：PA⊥平面ABCD
（2）解：連接AC，BD交與點(diǎn)0，過點(diǎn)E做EF⊥AD于F，在平面ABCD中做FH⊥AC
連接EH，所以∠EHF即為二面角E-AC-D的平面角．
所以利用：PE：ED=2：1．

EF

AP

=

1

3

解得：EF=

1

3

同理解得：FH=

3

3

則：在直角三角形EFH中，tan∠EHF=

3

3

所以：∠EHF=

π

6

即：sin∠EHF=

1

2

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，平面角二面角的做法，相關(guān)的比例問題，屬于基礎(chǔ)題型．