Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，△PAB為邊長為2的正三角形，底面ABCD為菱形，且平面PAB⊥平面ABCD，PC⊥AB，E為PD點(diǎn)上一點(diǎn)，滿足

PE

=

1

2

ED

（Ⅰ）證明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線PD與平面ACE所成角正弦值的大�。�

Answer 1

分析：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接PO，OC，根據(jù)等腰三角形三線合一及面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)，可得PO⊥平面ABCD及AB⊥OC，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面ACE和平面ABCD的法向量，代入向量夾角公式，可得結(jié)論
（Ⅱ）求出直線PD的方向，結(jié)合（I）中平面ACE的法向量，代入向量夾角公式，可得直線PD與平面ACE所成角正弦值的大�。�

解答：證明：（I）取AB的中點(diǎn)O，連接PO，OC
∵△PAB為邊長為2的正三角形，
∴PO⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO?平面PAB
∴PO⊥平面ABCD，

又∵PC⊥AB，PO∩PC=P，PO，PC?平面POC
∴AB⊥平面POC
又∵OC?平面POC
∴AB⊥OC
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，
則A（-1，0，0），C（0，

3

，0），P（0，0，

3

），D（-2，

3

，0）
∵

PE

=

1

2

ED

則E（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

）
則

AC

=（1，

3

，0），

AE

=（

1

3

，

3

3

，

2 3

3

）
設(shè)平面ACE的法向量為

n

=（x，y，z）
則由

n ⊥ AC n ⊥ AE

可得

n • AC =0 n • AE =0

即

x+ 3 y=0 1 3 x+ 3 3 y+ 2 3 3 z=0

令x=1，則

n

=（1，-

3

3

，0）
取平面ABCD的一個(gè)法向量

OP

=（0，0，

3

），
則

n

•

OP

=0，即

n

⊥

OP

故平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)直線PD與平面ACE所成角的大小為θ．
∵直線PD的方向向量

PD

=（-2，

3

，-

3

），平面ACE的法向量

n

=（1，-

3

3

，0）
∴sinθ=

| PD • n |

| PD |•| n |

=

3 30

20

故直線PD與平面ACE所成角正弦值為

3 30

20

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的解，其中建立空間坐標(biāo)系，將空間面面垂直問題和線面夾角問題，轉(zhuǎn)化為向量垂直和向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．