Question

設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a²對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則滿足條件的a所組成的集合是

[-

1

3

，

1

3

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的含有絕對(duì)值的不等式，設(shè)出所給的兩個(gè)變量之間的關(guān)系，對(duì)所給的絕對(duì)值不等式進(jìn)行整理，得到最簡形式，根據(jù)函數(shù)的思想f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值．

解答：解：取k∈R，令x=

1

2

ka，則原不等式為|ka-a|+|

3

2

ka-2a|≥|a|²，即|a||k-1|+

3

2

|a||k-

4

3

|≥|a|²
由此易知原不等式等價(jià)于|a|≤|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|，對(duì)任意的k∈R成立．
由于|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|=

5 2 k-3，k≥ 4 3 1- 1 2 k，1≤k＜ 4 3 3- 5 2 k，k＜1

∵y=

5

2

k-3，在k≥

4

3

時(shí)，y≥

1

3

y=1-

1

2

k，在1≤k＜

4

3

時(shí)，

1

3

≤y＜

1

2

y=3-

5

2

k，k＜1時(shí)，y＞

1

2

所以|k-1|+

3

2

|k-

4

3

|的最小值等于

1

3

，
從而上述不等式等價(jià)于|a|≤

1

3

．
故答案為：[-

1

3

，

1

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查含有絕對(duì)值的不等式的整理，考查函數(shù)的綜合題目中常用的解題思想，f（x）＞m恒成立，只要m＜f（x）的最小值，本題解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的最小值，本題是一個(gè)難題．