Question

10．在△ABC中，AB邊上的中線(xiàn)CO的長(zhǎng)為4，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），則$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$的最小值是（　�。�

• A． -9
• B． -8
• C． 4
• D． 16

Answer 1

分析 如圖所示，由動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），利用向量共線(xiàn)定理可得：點(diǎn)P在線(xiàn)段CO上．利用基本不等式的性質(zhì)可得：$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$（\frac{|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PO}|}{2}）^{2}$．

解答 解：如圖所示，
∵動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足$\overrightarrow{AP}={sin^2}θ•\overrightarrow{AO}+{cos^2}θ•\overrightarrow{AC}$（θ∈R），
sin²θ+cos²θ=1，sin²θ，cos²θ∈[0，1]．
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段CO上．
∴$（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）•\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PO}•\overrightarrow{PC}$≥-2$（\frac{|\overrightarrow{PC}|+|\overrightarrow{PO}|}{2}）^{2}$=-2×2²=-8，
當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{PC}=-\overrightarrow{PO}$時(shí)取等號(hào)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線(xiàn)定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．